home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter4.1p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  4.3 KB  |  220 lines
  1. à 4.1 Independent Solutions; The Wronskian
  2.  
  3. äèCalculate ê Wronskian for ê followng functions (ï
  4. èèèèèèèê order given)
  5.  
  6. â        Forèeì╣ å eÅ╣
  7.         èè ▒èeì╣èè eÅ╣è │èè │èeì╣èè eÅ╣è │
  8.         W =è│        èèè│è=è│èèèèèèèè│
  9.         èè ▒ [eì╣]»è[eÅ╣]» ▒èè │ 2eì╣èè4eÅ╣è │
  10.  
  11.         èè 
  12.         è=è4eÅ╣eì╣ - 2eì╣eÅ╣ = 2eæ╣
  13.          
  14.  
  15. éS        For a SECOND ORDER, LINEAR differential equation,
  16.     êre are two ARBITRARY CONSTANTS required ï ê general 
  17.     solution as two ïtegrations (å êir correspondïg constants
  18.     ç ïtegration) are required ë undo ê two differentiations
  19.     done ï developïg ê differential equation.
  20.  
  21.         The HOMOGENEOUS, Initial Value Problem thus requires 
  22.     two INITIAL CONDITIONS
  23.         y»» + p(x)y» + q(x)y = 0
  24.             y(x╙)è= y╙
  25.             y»(x╙) = y»╙
  26.  
  27.         If y¬ å y½ are solutions ç ê homogeneous differ-
  28.     ential equation, ên so is
  29.         C¬y¬ + C½y½
  30.     This is known as ê PRINCIPLE OF SUPERPOSITION å is easily
  31.     verified by substitution.
  32.  
  33.         A stronger condition is required ë ensure that all 
  34.     solutions ç ê homogeneous, lïear differential can be 
  35.     written ï terms ç ê lïear combïation
  36.         C¬y¬ + C½y½
  37.     The two functions y¬ å y½ must be LINEARLY INDEPENDENT å
  38.     form a FUNDAMENTAL SET OF SOLUTIONS.èFor a differential
  39.     equation ç ORDER n, êre are n lïearly ïdependent solutions
  40.     ç ê homogeneous equation.
  41.  
  42.         To get our condition for lïear ïdependence, substi-
  43.     tute ê lïear combïation ïë ê ïitial conditions for
  44.     ê function å its first derivative
  45.         
  46.         C¬y¬(x╙)è+ C½y½(x╙)è=èy╙
  47.  
  48.         C¬y¬»(x╙) + C½y½»(x╙) =èy»╙
  49.  
  50.     This is a system ç two equations ï ê two variables C¬ å
  51.     C½.èIn order for this system ë have a solution for all values
  52.     ç C¬ å C½, CRAMER'S RULE requires that ê DETERMINANT ç 
  53.     ê coefficients
  54.  
  55.         èèèè ▒èy¬(x╙)èèy½(x╙)è│
  56.         W(x╙) =è│    èèèèèèè│
  57.         èèèè ▒èy¬»(x╙)èy½»(x╙)è▒
  58.     must be NON-ZERO.
  59.  
  60.         The notation W(x╙) is used å is called ê WRONSKIAN
  61.     ç ê function evaluated at x╙.èThis function is defïed as
  62.  
  63.         èèèè▒èy¬(x)èèy½(x)è│
  64.         W(x) =è│    èèèèè │
  65.         èèèè▒èy¬»(x)èy½»(x)è▒
  66.  
  67.         If ê Wronsian is NON-ZERO for all x ï some ïterval
  68.     ên ê functions y¬ å y½ form a FUNDAMENTAL SOLUTION SET 
  69.     å ê GENERAL SOLTUION IS
  70.         y = C¬y¬ + C½y½
  71.  
  72.     è    In all ç ê cases ç ê LINEAR, CONSTANT COEFFICIENT
  73.     SECOND-ORDER differential equations given ï CHAPTER 3, ê 
  74.     solutions given form FUNDAMENTAL SOLUTION SETS
  75.  
  76.  1    e╣ å eÄ╣
  77.  
  78.  
  79.     A)    4eì╣        B)    2eÅ╣
  80.  
  81.     C)    4eúì╣        D)    2eúÅ╣
  82.  
  83. ü        For e╣ å eÄ╣, ê Wronskian is
  84.  
  85.         èè ▒èe╣èè eÄ╣è │
  86.         W =è│        èè │
  87.         èè ▒ [e╣]»è[eÄ╣]» ▒
  88.  
  89.  
  90.         èè ▒èe╣è eÄ╣ │
  91.         è=è│         │
  92.         èè ▒èe╣è3eÄ╣ ▒
  93.  
  94.         è=è3e╣eÄ╣ - e╣eÄ╣
  95.  
  96.         è=è2eÅ╣
  97.  
  98.     As W is never zero, êse solutions form a fundamental set
  99.     ç solutions for all reals.
  100.  
  101. Ç B
  102.  
  103.  2    eÄ╣ å eúì╣
  104.  
  105.  
  106.     A)    e╣        B)    5e╣
  107.  
  108.     C)    -e╣        D)    -5e╣
  109.  
  110. ü        For eÄ╣ å eúì╣, ê Wronskian is
  111.  
  112.         èè ▒èeÄ╣èè eú2╣è │
  113.         W =è│        èèè │
  114.         èè ▒ [eÄ╣]»è[eú2╣]» ▒
  115.  
  116.  
  117.         èè ▒è eÄ╣èèeúì╣ │
  118.         è=è│        èè │
  119.         èè ▒è3eÄ╣è-2eúì╣ ▒
  120.  
  121.         è=è-2eÄ╣eúì╣ - 3eÄ╣eúì╣
  122.  
  123.         è=è-5e╣
  124.  
  125.     As W is never zero, êse solutions form a fundamental set
  126.     ç solutions for all reals.
  127.  
  128. Ç D
  129.  
  130.     3    sï[2x] å cos[2x]
  131.  
  132.  
  133.     A)    -2            B)    4sï[2x]cos[2x]
  134.  
  135.     C)    2{sïì[2x] - così[2x]    D)    4
  136.  
  137. ü        For sï[2x] å cos[2x], ê Wronskian is
  138.  
  139.         èè ▒èsï[2x]èèècos[2x]è│
  140.         W =è│        èèèèèèè│
  141.         èè ▒ {sï[2x]}»è{cos[2x]}» ▒
  142.  
  143.  
  144.         èè ▒è sï[2x]èècos[2x] │
  145.         è=è│        èèèèèè│
  146.         èè ▒è2cos[2x]è-2sï[2x] ▒
  147.  
  148.         è=è-2sï[2x]sï[2x] - 2cos[2x]cos[2x]
  149.  
  150.         è=è-2{sïì[2x] + così{2x}}
  151.  
  152.         è=è-2
  153.  
  154.     As W is never zero, êse solutions form a fundamental set
  155.     ç solutions for all reals.
  156.  
  157. Ç A
  158.  
  159.  4    x å xì
  160.  
  161.  
  162.         A)    2xÄ - x        B)    xì
  163.  
  164.         C)    x - 2xÄ        D)    2xÄ + x
  165.  
  166. ü        For x å xì, ê Wronskian is
  167.  
  168.         èè ▒èxèèèxìè│
  169.         W =è│        è │
  170.         èè ▒ [x]»è[xì]» ▒
  171.  
  172.         èè ▒èxè xì │
  173.         è=è│    èèè │
  174.         èè ▒è1è 2x ▒
  175.  
  176.         è=è2xì - xì
  177.  
  178.         è=èxì
  179.  
  180.     As W is zero only at x = 0, êse solutions form a fundamental 
  181.     set ç solutions for eiêr ê ïterval x > 0 or ê ïterval
  182.     x < 0.
  183.  
  184. Ç B
  185.  
  186.  5    e╣sï[x] å e╣cos[x]
  187.  
  188.  
  189.     A)èèeì╣{1 - 2sï[x]cos[x]}    B)è eúì╣
  190.  
  191.     C)èèeì╣{2sï[x]cos[x] - 1}    D)è -eì╣
  192.  
  193. ü        For e╣sï[x] å e╣cos[x], ê Wronskian is
  194.  
  195.         èè ▒èe╣sï[x]èèèe╣cos[x]è│
  196.         W =è│        èèèèèèèè│
  197.         èè ▒ {e╣sï[x]}»è{e╣cos[x]}» ▒
  198.  
  199.  
  200.         èè ▒èèè e╣sï[x]èèèèèèèe╣cos[x]èèè │
  201.         è=è│        èèèèèè            è│
  202.         èè ▒èe╣cos[x] + e╣sï[x]è-e╣sï[x] + e╣cos[x] ▒
  203.  
  204.         è=è-e╣sï[x]e╣sï[x] + e╣sï[x]e╣cos[x]
  205.         èè -e╣cos[x]e╣cos[x] - e╣cos[x]e╣cos[x]
  206.  
  207.         è=è-eì╣{sïì[2x] + così{2x}}
  208.  
  209.         è=è-eì╣
  210.  
  211.     As W is never zero, êse solutions form a fundamental set
  212.     ç solutions for all reals.
  213.  
  214. Ç D
  215.  
  216.  
  217.  
  218.  
  219.  
  220.